Differential Geometry and Topology Seminar

Krzysztof Święcicki (Texas A&M): Twierdzenie Helly'ego dla kompleksów systolicznych

Streszczenie: Klasyczne twierdzenie Helly'ego dla przestrzeni Euklidesowych mówi, że dla rodziny podzbiorów wypukłych X₁,X₂,…,X_n⊆Rⁿ⁺² jeśli dowolna podrodzina mocy n+1 ma niepuste przecięcie, to istnieje punkt należący do każdego z tych zbiorów. Isnieje dobrze znany analog tego twierdzenia dla CAT(0) kompleksów kostkowych, przy czym niezależnie od ich wymiaru topologicznego „zachowują się one” jak jednowymiarowa przestrzeń Euklidesowa (formalnie mówiąc mają one wymiar Helly'ego jeden). W trakcie seminarium zaprezentuje wersję powyższego twierdzeń dla kompleksów systolicznych: udowodnię, że kompleksy 7-systoliczne mają wymiar Helly'ego jeden oraz naszkicuję dlaczego 6-systoliczne kompleksy maja wymiar Helly'ego dwa.

Sylwia Antoniuk (Poznań): O silnych funkcjach progowych dla pewnych własności grup losowych.

Katarzyna Jankiewicz (McGill University): Kostkowa teoria małych skreśleń

Streszczenie: Prezentacja grupy spełnia warunek małych skreśleń, jeśli relatory nie nachodzą na siebie wzdłuż dużych kawałków. Kostkowa teoria małych skreśleń jest uogólnieniem klasycznej teorii i została sformułowana przez Daniego Wise'a oraz użyta przez niego w dowodzie twierdzenia o ilorazie specjalnym. W moim odczycie, wprowadzę pojęcia prezentacji kostkowej i kostkowych warunków małych skreśleń, porównując je do pojęć w klasycznej teorii małych skreśleń. Opowiem o kostkowej wersji lematu Greendlingera, która jest podstawowym twierdzeniem kostkowej teorii małych skreśleń.

Wadim Kaimanowicz (University of Ottawa): Randomness and invariance of geometric structures

Abstract: In the modern mathematical language randomness is associated with the presence of a certain probability measure. If there is a group of symmetries one can further talk about measures invariant with respect to this group. However, it turns out that invariance can also be defined under much weaker assumptions. Various ideas of this theory have been discovered (and quite often rediscovered) by both probabilists and geometers. I will give a brief survey describing the basic notions (holonomy invariant measures on foliations, invariance with respect to equivalence relations, stochastically homogeneous, unimodular and stationary graphs or manifolds, invariant random subgroups) and outline the main problems.

Damian Osajda: Combinatorial nonpositive curvature

Abstract: I will survey on our recent progress in studying various notions of Combinatorial NonPositive Curvature (CNPC). This relies on joint projects with (in some configurations): Bostjan Bresar, Jeremie Chalopin, Victor Chepoi, Tanja Gologranc, Hiroshi Hirai, Alexandre Martin, and Jacek Swiatkowski.
I will describe some CNPC theories unifying the ones of CAT(0) cubical complexes and systolic complexes, and groups. Main nonpositive-curvature-like features of CNPC objects will be presented. I will indicate some relations and applications to geometry, group theory, graph theory, combinatorics, optimization theory. Finally, I will sketch plans for a future research, and pose some precise questions.

Łukasz Garncarek: Boundary representations of hyperbolic groups

Bogusław Hajduk: O polach wektorowych mających własność Reeba

Anne Thomas (University of Glasgow): Quasi-isometry classification of certain hyperbolic Coxeter groups

Abstract: We investigate the quasi-isometry classification of certain one-ended word-hyperbolic Coxeter groups. Our main result uses Bowditch's JSJ tree and work of Behrstock and Neumann on quasi-isometries of fattened trees to give a complete classification of an infinite family. From this and a theorem of Crisp and Paoluzzi, it follows that for these groups, quasi-isometry is stronger than commensurability. This is joint work with Pallavi Dani.

Tomasz Elsner: O znikaniu ograniczonych kohomologii dla grup hiperbolicznych wg. Mineyeva

Agnieszka Bier (Politechnika Śląska): O automorfizmach drzew z wyróżnionym elementem

Witalij Suszczański (Politechnika Śląska): Grupy izometrii przestrzeni Hamminga-Bezikowicza ciągów okresowych i grupy D-hiperoktahedralne

Markus Steenbock (Universität Wien): Rips construction without unique product

Abstract: We first give an overview on the Kaplansky conjectures on group rings. We then explain Rips–Segev’s construction of torsion-free groups without unique product by viewing these groups as given by graphical small cancellation presentations over free products. The small cancellation theory then provides first examples of Gromov hyperbolic groups without unique product. Given a finitely presented group Q, we produce a short exact sequence 1 → N → G → Q → 1 such that G is a torsion-free Gromov hyperbolic group without unique product and N is 2-generated. Varying Q, we obtain a wide diversity of concrete examples of Gromov hyperbolic groups without unique product. The Kaplansky zero-divisor conjecture is unknown for such groups. This is joint work with Goulnara Arzhantseva.

Dominika Pawlik (Uniwersytet Warszawski): scisly dowod tego ze brzeg dowolnej grupy hiperbolicznej jest kompaktem Markova.

Streszczenie:

Misza Gromow naszkicowal argument, ze takie brzegi wyrazaja sie jako tzw. przestrzenie Markowskie (Markovian spaces)

Michał Coornaert i Atanazy Papadopoulos opracowali idee Gromowa scisle, w ksiazeczce z lat 90-tych

Sasza Dranisznikow podal definicje kompaktow Markowa, i w swojej pracy twierdzi ze pochodzi ona od Gromowa i ze wiadomo ze brzegi grup hiperbolicznych sa kompaktami Markowa

blizsza analiza pokazuje, ze nie ma oczywistego argumentu pokazujacego ze przestrzenie Markowskie sa automatycznie kompaktami Markowa; rowniez Sasza (w prywatnej rozmowie) przyznal, ze nie istnieje spisany dowod tego, ze brzegi grup hiperbolicznych sa kompaktami Markowa

Łukasz Garncarek: Proper isometric actions of hyperbolic groups on L^p-spaces wg. Bogdana Niki

Jacek Świątkowski: Co wiadomo o topologii brzegów grup Coxetera — przegląd

Tomasz Elsner: Finitely presented subgroups of systolic groups are systolic wg. Kacpra Zadnika

Franciszka Diana: Uniformly finite homology and amenable groups

Bartosz Trojan: Teoria Littlewooda–Paley'a dla budynków trójkątnych

Streszczenie: Na brzegu budynku trójkątnego rozpatrujemy naturalną 2-parametrową filtrację (F_n: n ∈ Z). Dla martyngału (f_n : n ∈ Z²) definiujemy funkcję maksymalną i kwadratową. Pokazujemy ich ograniczoność na L^p(ν), p>1. Otrzymaną teorię aplikujemy do badania transformat martyngałowych.

Michał Marcinkowski: La propriété de décroissance rapide pour de group de Wise wg. Sylwana Barré i Michała Pichota

Streszczenie: Udowodnimy, że grupa ⟨ a,b,s,t | [a,b] = e, a^s = (ab)², b^t = (ab)² ⟩ ma własność RD.