Opracowania dotyczące aksjomatycznego ujęcia geometrii afinicznej i rzutowej

W tym dziale znajdziecie następujące opracowania.

     [A1] "Teoria płaszczyzny afinicznej" autorstwa Agnieszki Sołtys.
     [A2] "Elementarna aksjomatyczna płaska geometria rzutowa" autorstwa Katarzyny Kozińskiej.

Poniżej zamieszczam nieco obszerniejsze omówienia prac z tego działu.

[A1] Dość przystępne wprowadzenie do geometrii afinicznej płaskiej, przy pomocy aksjomatów

Agnieszka Sołtys, "Teoria płaszczyzny afinicznej", praca magisterska, 2005. plik pdf

Geometria afiniczna to ta część zwykłej geometrii, która dotyczy własności punktów i prostych wyrażanych przy pomocy pojęcia równoległości, ale bez pojęć miarowych (miar kątów, długości odcinków). Praca dotyczy aksjomatycznego ujęcia takiej geometrii, czyli zbudowania jej teorii poprzez oparcie się na kilku podstawowych prawach zwanych aksjomatami.
Fascynującym aspektem geometrii afinicznej jest jej związek z algebrą. Związek taki, jak szcegółowo omawia autorka, działa w dwie strony. Po pierwsze, mając algebraiczną strukturę zwaną ciałem (czyli zbiór z dobrze zachowującymi się czterema działaniami podobnymi do dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia), możemy przy jego pomocy zbudować odpowiadający mu wariant płaszczyzny afinicznej. (Punktami są pary elementów ciała, zaś prostymi zbiory takich par stanowiące zbiory rozwiązań równań liniowych z dwiema niewiadomymi.) Ponieważ istnieje wiele różnych ciał, otrzymujemy w ten sposób wiele różnych waraintów płaszczyzny afinicznej. W drugą stronę, mając dowolną płaszczyznę afiniczną (spełniającą odpowioednie aksjomaty), możemy w jej terminach wprowadzić na punktach dowolnej prostej działania, które czynią z tej prostej ciało. Wszystkie te zjawiska opisane są przystępnie i dokładnie w prezentowanej tu pracy.

[A2] O podstawowych prawach 2-wymiarowej geometrii rzutowej i o konstrukcjach przestrzeni spełniających te prawa.

Katarzyna Kozińska, "Elementarna aksjomatyczna płaska geometria rzutowa", praca magisterska, 2012. plik pdf

Geometria rzutowa to teoria geometryczna, która wydaje się jeszcze uboższa niż geometria afiniczna. Dotyczy własności punktów i prostych, ale w oparciu o fundamentalne założenia wśród których nie ma nawet pojęcia równoległości i praw jego dotyczących. Autorka prezentuje nam te fundamentalne założenia (aksjomaty) geometrii rzutowej, wyprowadza podstawowe ich konsekwencje, oraz opisuje różne konstrukcje przestrzeni spełniających te założenia. Jedna z takich konstrukcji "wytwarza" płaszczyznę rzutową z dowolnej płaszczyzny afinicznej.
Ciekawe zjawisko opisane jest w ostatnim rozdziale pracy, gdzie pokazana jest konstrukcja "odwrotna", budująca płaszczyznę afiniczną z dowolnej płaszczyzny rzutowej. Pokazuje to, zę te dwie teorie geometrii (rzutowe i afinicznej) są bardzo blisko ze sobą związane.