O polu i objętości, a także o równoważności przez rozkład

Opracowania z tej grupy tematycznej należą do natępujących mniejszych działów.

1. Ciekawe wzory na pole i objętość:       [przejdź do opisów prac z tego działu]
     [W1] "Wzór Picka dla figur wielokątnych" autorstwa Lidii Gniadkowskiej;
     [W2] "Elementarny dowód twierdzeń Pappusa-Guldina" autorstwa Pauliny Haręża;
     [W3] "Objętość brył, których funkcja pola przekroju jest wielomianem conajwyżej trzeciego stopnia" autorstwa Magdaleny Gapskiej.
     [W4] "Zorientowane pole wielokątów" autorstwa Agnieszki Burskiej.

2. Ścisłe podstawy teoretyczne pojęcia pola wielokątów i objętości wielościanów:       [przejdź do opisów prac z tego działu]
     [T1] "O pewnym sposobie ścisłego wprowadzenia pola dla wielokątów i objętości dla wielościoanów" autorstwa Magdaleny Dukiewicz;
     [T2] "Od aksjomatów objętości do wzorów na objetości wielościanów" autorstwa Katarzyny Kowalczuk;
     [T3] "Aksjomat monotoniczności w teorii pola figur wielokątnych" autorstwa Teresy Majcher.

3. Metoda niepodzielnych i zasada Cavalieriego, czyli jak całkowano przed wynalezieniem całki:       [przejdź do opisów prac z tego działu]
     [C1] "Obliczanie pól i objętości metodą Cavalieriego" autorstwa Izabeli Król;
     [C2] "Obliczanie pól pewnych figur metodą Pascala i Archimedesa" autorstwa Agnieszki Kosmali;
     [C3] "Zastosowanie zasady Cavalieriego" autorstwa Bartłomieja Czerkasa;
     [C4] "Objętość brył, których funkcja pola przekroju jest wielomianem conajwyżej trzeciego stopnia" autorstwa Magdaleny Gapskiej.

4. Pole figur na sferze i na płaszczyźnie nieeuklidesowej:       [przejdź do opisów prac z tego działu]
     [F1] "Teoria pola dla figur wielokątnych na sferze" autorstwa Anny Grabowieckiej.
     [F2] "Pojęcie pola w geometrii nieeuklidesowej" autorstwa Justyny Zakręt.

Wzory na pole i objętość rozmaitych figur to chyba najbardziej znany fragment wiedzy poznawanej w ramach szkolnej nauki geometrii. Szkolna wiedza nie obejmuje jednak wielu ciekawych i nietrudnych wzorów, z którymi możecie zapoznać się w opracowaniach omawianych poniżej. Przedstawione w nich będą nie tylko same te wzory, ale także ich w miarę elementarne wyprowadzenia. Wśród zaprezentowanych wzorów znajdą się:

oparty na zliczaniu punktów kratowych wzór Picka na pole wielokątów o wierzchołkach w punktach kratowych (omówiony w [W1]);

dwa bardzo sugestywne wzory Pappusa-Guldina na objętość i pole powierzchni brył obrotowych (omówione w [W2]);

pewien szalenie uniwersalny wzór na objętość brył (omówiony w [W3]);

wreszcie wzór pozwalający obliczyć pole dowolnego wielokąta na podstawie znajomości kartezjańskich współrzędnych jego kolejnych wierzchołków (omówiony w [W4]).

[W1]    Wielokąty o wierzchołkach w punktach kratowych i wzór na ich pole

Lidia Gniadkowska, "Wzór Picka dla figur wielokątnych", praca magisterska, 2000. plik pdf

W pracy zaprezentowany zostanie (i udowodniony) ciekawy wzór na pole wielokątów, których wszystkie wierzchołki są tzw. punktami kratowymi, czyli punktami o obu współrzędnych całkowitych w ustalonym układzie kartezjańskim (o takich punktach można też myśleć jak o punktach węzłowych na papierze w kratkę, w którym rozmiar podstawowego kwadracika wynosi 1x1). Wzór wyraża pole wielokąta za pomocą liczby punktów kratowych znajdujących się we wnętrzu oraz na brzegu tego wielokąta. Znany jest w literaturze pod nazwą wzór Picka, od nazwiska odkrywcy.

W drugiej części pracy wzór ten jest uogólniony w taki sposób, by wyliczał pole dla dużo bardziej skomplikowanych figur, nazywanych figurami wielokątnymi, takich jak np. na rysunku obok, oczywiście dalej przy założeniu, że wszystkie wierzchołki figury są punktami kratowymi.

Bryłę obrotową można poglądowo traktować jak kawałek pręta o ustalonym kształcie przekroju wygiętego w taki sposób, że jego jeden koniec spotyka się z drugim. Przykład takiej bryły, o przekroju kołowym, pokazany jest na rysunku poniżej. Pierwszy z wzorów Pappusa-Guldina mówi, że objętość takiego "wygiętego pręta" jest równa iloczynowi jego długości oraz pola przekroju, gdzie przez długość rozumie się długość okręgu jaki zatacza środek ciężkości figury płaskiej będącej przekrojem. Pomimo poglądowej "oczywistości" wzór ten wcale nie jest łatwy do wyprowadzenia elementarnymi metodami. Takie właśnie wyprowadzenie tego wzoru znajdzie czytelnik w przedstawianej pracy.

[W3]    O bardzo uniwersalnym wzorze na objętość brył

Magdalena Gapska, "Objętość brył, których funkcja pola przekroju jest wielomianem conajwyżej trzeciego stopnia", praca magisterska, 2005. plik pdf

Z tej pracy dowiecie się, że istnieje uniwersalny wzór, wyglądający następująco

przy pomocy którego daje się wyznaczyć objętość mnóstwa różnych brył, a wśród nich: graniastosłupów, walców, stożków, stożków ścietych, ostrosłupów, kuli i jej wycinków, paraboloid i hiperboloid obrotowych, i wielu innych. Cechą wspólną tych wszystkich brył, decydującą o prawdziwości wzoru w ich przypadku, jest posiadanie tzw. funkcji pola przekroju będącej wielomianem stopnia conajwyżej 3.

Funkcja pola przekroju reprezentuje sposób, w jaki zmienia się pole przekroju bryły w zależności od wysokości h poziomej płaszczyzny przekroju. Na rysunku obok pokazane są bryły o funkcjach pola przekroju stałej, liniowej i kwadratowej.

[W4]    Uniwersalny wzór na pole wielokąta w układzie współrzędnych (i nie tylko)

Agnieszka Burska, "Zorientowane pole wielokątów", praca magisterska, 2001. plik pdf

"Bohaterem" tej pracy jest pojęcie zorientowanego pola, które jest w zasadzie zwykłym polem, jednak ze znakiem zależnym od wybranej orientacji obiegu figury naokoło, po jej obwodzie. Okazuje się, co jest wytłumaczone w pracy, że w układzie współrzędnych jest bardziej naturalne obliczenie zorientowanego pola wielokąta niż jego zwykłago pola. Ma to ciekawe konsekwencje. Przykładowo, bez rysunku, na podstawie samych tylko współrzędnych punktów A, B, C, D, możemy rachunkowo rozpoznać, czy punkty C i D leżą po tej samej stronie, czy po różnych stronach prostej AB. Podobnie można samymi tylko rachunkami ustalić, czy punkt D leży we wnętrzu trójkąta ABC, czy nie.
Najsubtelniejsze z zaprezentowanych w pracy zastosowań pojęcia zorientowanego pola pozwala w ścisły sposób zdefiniować pojęcie pola dla wielokątów. Odsyłam czytelnika zainteresowanego tym aspektem do zapoznania się z Rozdziałem 4 pracy (po uprzednim zapoznaiu się także z podstawowym Rozdziałem 1).
Dodatkową ciekawostką jest omówienie mało znanego pjęcia pola dla wielokątów gwiaździstych, czyli wielokątów, które są "ograniczone" łamanymi zamkniętymi z samoprzecięciami. Tu odsyłam czytelników do Rozdziału 6 w pracy.

Dział 2: Ścisłe podstawy teoretyczne pojęcia pola wielokątów i objętości wielościanów

Opracowania [T1], [T2] i [T3] pozwalają zapoznać się w elementarny sposób z tym jak intuicyjne pojęcia pola i objętości ujmowane są w sposób ścisły przez matematyczne teorie datyczące tych konceptów.

Praca [T1] podejmuje problem jak w sposób ścisły zdefiniować liczby oznaczające pole wybranego wielokąta lub objętość wybranego wielościanu, i jak przy tym mieć pewność, że liczby te zostały przypisane w sposób jednoznaczny. Nie jest to proste, a sposób zaprezentowany w pracy jest wprawdzie pracochłonny, ale za to całkowicie elementarny. Sposób ten w szczególności nie korzysta z pojęcia granicy ciągu, jak to się dzieje w przypadku innych sposobów popularnych w matematyce teoretycznej.

W pracy [T2] przedstawione jest w przystępny sposób aksjomatyczno-dedukcyjne podejście do objętości. Teoria taka polega na przyjęciu czterech podstawowych bardzo naturalnych założeń, zwanych aksjomatami teorii objętości, oraz na wyprowadzaniu wszystkich pozostałych własności i wzorów ścisłym logicznym wnioskowaniem. Oprucz przedstawienia samej teorii, w formie logicznego wyprowadzania kolejnych wniosków z aksjomatów, praca zawiera też elementarny dowód niesprzeczności tej teorii, a więc jej sensowności z logicznego punktu widzenia. Praca zawiera też dowód niezależności wszystkich aksjomatów, czyli faktu że teoria nie może się obejść bez któregokolwiek z nich.

Opracowanie [T3] powraca do pojęcia pola. Jest ono gruntowną analizą roli aksjomatu monotoniczności w logicznej strukturze tej teorii.

[T1]    Pole i objętość bez tajemnic

Magdalena Dukiewicz, "O pewnym sposobie ścisłego wprowadzenia pola dla wielokątów i objętości dla wielościanów", praca magisterska, 2005. plik pdf

Jak oblicza się pole trójkąta? Ze wzoru P=ah/2. A jak wyznacza się pole dowolnego wielokąta? Rozkładając go na trójkąty, i sumując pola tych trójkątów. A skąd wiadomo, że wynik nie zależy od sposobu podziału na trójkąty? Na to pytanie odpowiada właśnie ta praca. Można ją też potraktować jak ścisłe wprowadzenie pojęcia pola dla wielokątów.

W drugiej części pracy adresowany (i rozwiązany!) jest analogiczny problem dla wielościanów, ich rozkładów na czworościany, i wyznaczania ich objętości. O ile w pierwszej części rozumowanie jest oparte na dzieleniu wielokątów na trapezy, o tyle w drugiej rolę trapezów pełnią bryły zwane pryzmatoidami, które można traktować jako 3D-odpowiedniki trapezów.

[T2]    Teoria objętości dla wielościanów - ujęcie aksjomatyczno-dedukcyjne

Katarzyna Kowalczuk, "Od aksjomatów objętości do wzorów na objetości wielościanów", praca magisterska, 2005. plik pdf

Praca zawiera przystępny opis matematycznej teorii objętości dla wielościanów. Teoria ta oparta jest na czterech prostych podstawowych zasadach, zwanych aksjomatami. Aksjomat przystawania mówi, że przystające bryły mają jednakowe objętości. Aksjomat sumy stwierdza, że bryła podzielona na dwie części ma objętość równą sumie objętości tych części. Aksjomat montoniczności orzeka, że bryłą zawarta w drugiej bryle nie może mieć objętości większej niż ta druga bryła. I wreszcie aksjomat jednostki stwierdza, że pewien ustalony sześcian o bokach długości 1 ma objętość równą 1 (ten sześcian możemy uwarzać za nasz wzorzec objętości).

Praca składa się z trzech części. W części pierwszej pokazane jest jak można z tych czterech aksjomatów wydedukować wszystkie podstawowe własności objętości, w tym wszystkie podstawowe szkolne wzory na objętości brył. Część druga poświęcona jest udowodnieniu, że aksjomaty teorii objętości nie są ze sobą sprzeczne, czyli że nie mogą doprowadzić nas do logicznych absurdów. Część trzecia poświęcona jest problemowi niezależności poszczególnych aksjomatów, czyli uzasadnieniu tego, że każdy z aksjomatów jest niezbędny, bo bez niego pewnych własności nie dołoby się wyprowadzić.

[C1]    Jak całkowano na 100 lat przed wynalezieniem rachunku całkowego

Izabela Król, "Obliczanie pól i objętości metodą Cavalieriego", praca magisterska, 2000. plik pdf

Bonaventura Cavalieri to włoski matematyk żyjący w XVI wieku, a więc jakieś 100 lat przed Newtonem i Leibnizem - wynalazcami rachunku różniczkowego i całkowego. Opracował sposoby wyznaczania pól i objętości rozmaitych figur bardzo poglądową metodą, którą nazwał metodą niepodzielnych. Nie było to ścisłe rozumowanie z punktu widzenia standardów nowoczesnej matematyki, ale stało się szalenie popularne i modne, i było inspiracją także dla Leibniza i Newtona. Niektóre elementy metody niepodzielnych dały się ująć w ścisłe reguły, i są znane obecnie pod nazwą zasady Cavalieri'ego.

Omawiana tu praca poświęcona jest zaprezentowaniu głównych założeń zasady Cavalieri'ego, oraz licznych obliczeń wykonanych przy pomocy tej zasady. Metoda jest tak poglądowa i przekonywująca, że znakomicie nadaje się do spopularyzowania wśród miłośników geometrii. Ciekawe bryły, których objętość wyznaczona jest w tej pracy, to m.in. torus (bryła w kształcie obwarzanka), elipsoida obrotowa (patrz rysunek obok), a także wycinki paraboloid i hiperboloid obrotowych.

[C3]    Wrzeciona, jabłka, obwarzanki - ich objętość i pole powierzchni

Bartłomiej Czerkas, "Zastosowanie zasady Cavalieriego", praca magisterska, 2013. plik pdf

Ta praca podejmuje raz jeszcze temat zasady Cavalieri'ego. Omówione są w niej rozmaite dalsze warianty tej zasady, a także zaprezentowane rozmaite dalsze obliczenia, np. wyznaczenie objętości wycinka hiperboloidy jednopowłokowej.

Najbardziej oryginalnym elementem tej pracy jest sformułowanie pewnego nowego wariantu zasady Cavalieri'ego nadającego się szczególnie dobrze do wyliczeń pól powierzchni brył obrotowych. Ten wariant zasady został w pracy wykorzystany m.in. do wyliczeń pól powierchni brył o kształcie wrzeciona (patrz rysunek obok), jabłka (patrz Podrozdziały 3.6 i 4.5 w pracy), oraz obwarzanka (tzw. torus).

Rysunek obok przedstawia sposób zbudowania bryły obrotowej, którą nazywamy wrzecionem. W pracy znajdują się wyliczenia objętości i pól powierzchni takich wrzecion, i wielu innych brył.

Do zrozumienia pracy nie potrzeba żadnej zaawansowanej wiedzy matematycznej - wystaczy dociekliwość i zdrowy rozsądek.

[C4]    O "tomograficznym" wzorze na objętość

Magdalena Gapska, "Objętość brył, których funkcja pola przekroju jest wielomianem conajwyżej trzeciego stopnia", praca magisterska, 2005. plik pdf

Słowo "tomografia" pochodzi od greckiego słowa oznaczającego przekrój. Ma to tyle wspólnego z omawianą tu pracą, że jest w niej przedstawiony wzór na objętość wykorzystujący znajomość pól trzech przekrojów rozpatrywanej bryły: przekrojów "górnego" i "dolnego", oraz przekróju "w połowie wysokości". Okazuje się, że wzór taki jest poprawny dla zdumiewająco wielu brył, i dość przystępne uzasadnienie tego faktu znajdziecie w tej właśnie pracy. Wspomniane uzasadninie będzie elementarne, i będzie wykorzystywać omawianą szeroko w innych pracach z tego działu zasadę Cavalieri'ego.

Rysunek obok przedstawia dwie spośród naprawdę wielu brył, do których można stosować omawiany w tej pracy wzór na objętość.

Dział 4: Pole figur na sferze i na płaszczyźnie nieeuklidesowej

Dwie zaprezentowane w tym dziale prace zawierają bardzo przystępne wprowadzenia do opartych na aksjomatach teorii pola wielokątów na sferze i na płaszczyźnie nieeuklidesowej. Druga praca, dotycząca płaszczyzny nieeuklidesowej, zawiera też zwięzłe i łatwo przyswajalne wprowadzenie do tego, czym jest płaszczyzna nieeuklidesowa, oraz czym są podstawowe obiekty geometryczne na tej płaszczyźnie.

[F1]    Jak obliczać pole wielokątów na sferze?

Anna Grabowiecka, "Teoria pola dla figur wielokątnych na sferze", praca magisterska, 2005. plik pdf

Omawiana praca wprowadza w zagadnienie pola wielokątów na powierzchni sfery - metodą aksjomatyczno-dedukcyjną. Wielokąty sferyczne to figury ograniczone zamkniętymi łamanymi złożonymi z segementów kół wielkich. Punktem wyjścia jest założenie, że pole całej sfery wynosi 4π. Potem następuje wyznaczenie pół tzw. dwukątów sferycznych, czyli figur o kształcie ograniczonym dwoma południkami. To prowadzi następnie do wzoru na pole sferycznych trójkątów. Okazuje się, że pole dowolnego sferycznego trójkąta jest równe nadwyżce jego sumy kątów ponad π (czyli ponad wartość sumy kątów dla dowolnego trójkąta na zwykłej płaszczyźnie). Kolejny krok polega na uogólnieniu tej obserwacji na dowolne wielokąty sferyczne.

W dalszej części praca zawiera analizę teorii pola dla wielokątów sferycznych pod kątem jej niesprzeczności (czyli logicznej koherentności), oraz pod kątem tego, czy poszczególne aksjomaty są w tej teorii niezbędne (dokładniej, wykazana jest niezależność każdego z aksjomatów od pozostałych). Dzięki temu teoria ta nabiera statusu porządnej matematycznej teorii.

W dodatkowym końcowym razdziale pracy zaprezentowane jest wyliczenie pola czaszy sferycznej, jako granicy pól wielokątów wpisanych w tą czaszę.

[F2]    Czym jest pole wielokątów w geometrii nieeuklidesowej?

Justyna Zakręt, "Pojęcie pola w geometrii nieeuklidesowej", praca magisterska, 2005. plik pdf

Praca zaczyna się od zwięzłego wytłumaczenia czym jest płaszczyzna nieeuklidesowa. Następnie zaprezentowane są aksjomaty (czyli podstawowe własności), na których oparta jest teoria pola wielokątów na płaszczyźnie nieeuklidesowej. Wszystkie podstawowe własności pola, i wzory, wyprowadzone są metodą dedukcji z przedstawionych aksjomatów. Opis jest bardzo przystępny. Najciekawszy wyprowadzony fakt mówi, że pole nieeuklidesowego n-kąta można obliczyć za pomocą miar jego kątów: jest ono równe tzw. defektowi, czyli różnicy pomiędzy sumą kątów w dowolnym n-kącie euklidesowym oraz sumą kątów danego nieeuklidesowego n-kąta.

Ciekawym fenomenem w geometrii nieeuklidesowej jest istnienie figur bardzo przypominających wielokąty, które są nieograniczone, ale mają skończone pole. Są to tzw. wielokąty idealne. Praca zawiera omówienie również takich wielokątów idealnych, wyjaśnienie jak to jest możliwe, by miały skonczone pole, a także uogólnienia pojęcia defektu, i wzorów na pole, które stosują się także do takich wielkątów.

Ostatnia część pracy zawiera poglądową i ścisłą analizę przedstawionej teorii pod kątem jej logicznej niesprzeczności, oraz pod kątem niezależności jej aksjomatów.

Dział 5: Równoważność przez rokład a równość pól lub objętości

Rozcinanie figur na części, i składanie z tych części innych figur, to bardzo wdzięczne źródło zagadek i łamigłówek, by wspomnieć tylko o znanych układankach takich jak PENTOMINO czy TANGRAM. Jednak zagadnienie to ma też głębszą treść, poprzez swój związek z pojęciem pola. Dla starożytnych geometrów greckich był to podstawowy sposób porównywania wielkości figur. Zebrane w tym dziale teksty opracowań zawierają omówienie rozmaitych aspektów tego zagadnienia.

Praca [R1] jest tekstem podstawowym, w którym starannie omówione jest pojęcia równoważności przez rozkład, polegające właśnie na możliwości rozłożenia figury na części, i złożenia z nich drugiej figury. Praca zawiera też przystępny dowód niebanalnego faktu, że dowolne dwa wielokąty o równych polach są równoważne przez rozkład. Od około 120 lat wiadomo, że analogiczny fakt nie ma miejsca dla wielościanów o jednakowych objętościach, przynajmniej nie w pełnej ogólności. W pracy [R2] pokazane jest jednak, że dowolne dwa graniastosłupy mające tą samą objętość są równoważne przez rozkład (ten sam fakt jest też wyjaśniony, nieco inaczej, w Rozdziale 5.2 pracy [R1]). Praca [R3] omawia zagadnienie równoważności przez rozkład w geometrii nieeuklidesowej. Ostatnia praca [R4] dotyczy natomiast pojęcia translacyjnej równoważności przez rozkład, gdzie w procesie rozkładania i składania figur, poszczególnych ich części nie można obracać, lecz jedynie przesuwać.

[R2]    Rozkład na wspólne części dla dowolnych dwóch graniastosłupów (także pochyłych) o równych objętościach

Beata Zwierzańska, "Równoważność przez rozkład dla graniastosłupów" , praca magisterska, 2005. plik pdf

W pracy omówiony jest 3-wymiarowy wariant pojęcia równoważności przez rozkład - dla wielościanów. Dość znane twierdzenie mówi, że inaczej jak w przypadku 2-wymiarowym, nie każde dwa wielościany o tej samej objętości są równoważne przez rozkład. (Przykładowo, czworościan foremny i sześcian o tej samej objętośc i nie są równoważne przez rozkład.) Mniej znay jest fakt, że dla dużej rodziny wielościanów równośc objętości wystarcza do tego by były równoważne przez rozkład. Tak jest np. dla dowolnych dwóch graniastosłupów, choćby nawet pochyłych. Uzasadnienie tego właśnie faktu jest głównym celem opisywanej tu pracy.

Rysunek obok ilustruje jedną z pomocniczych obserwacji poczynionych w pracy, a mianowicie: każdy prostopadłościan jest równoważny przez rozkład z sześcianem.

Anna Koch, "Równoważność translacyjna figur wielokątnych" , praca magisterska, 2006. plik pdf

Dwie figury umieszczone na płaszczyźnie są translacyjnie równoważne przez rozkład jeśli pierwszą z nich można podzielić na części A_1, A_2, ... , A_n zaś drugą na części B_1, B_2, ... , B_n w taki sposób, że każda część B_i jest przesuniętą (przez pewną translację) kopią części A_i. Oczywiście każda figura jest translacyjnie równoważna przez rozkład z dowolną swoją przesuniętą kopią, ale już nie jest jasne czy np. kwadrat i jego lekko obrócona kopia są równoważne przez rozkład (z analizy przedstawionej w pracy wynika, że jest to prawda!).

W opisywanej tu pracy podany jest przystępny sposób na szybkie rozstrzygnięcie czy dwie figury na płaszczyźnie są translacyjnie równoważne przez rozkład, czy nie. Odpowiedź wcale nie jest oczywista!